Penalaran Induktif dan Deduktif

KONSEP DASAR

PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF

TUGAS MATA KULIAH

PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA

KELAS : A

KELOMPOK : `7

Disusun Oleh :

1.    Siti Nur Jamilah               (130210204017)

2.    Siti Esa Devika Sari         (130210204081)

3.    Helvy Ika Sa’diyah          (130210204084)

4.    Intan Nur Halidayanti     (130210204123)

5.    Istifar Musarofah            (130210204030)

6.    Selatika Pidiana               (130210204011)

JURUSAN PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN dan ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2014

PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF

A.    PENARIKAN KESIMPULAN.

Penarikan kesimpulan adalah lambang aktivitas pikiran yang abstrak yang berbentuk bahasa atau bentuk-bentuk lambang lainnya. Validitas suatu penarikan kesimpulan dapat diuji dengan cara menguji validitas bentuk dari penarikan kesimpulan tersebut dalam hal ini argumennya. Suatu argumen dikatakan sah jika premis-premis bernilai benar maka konklusinya bernilai benar. Sebaliknya suatu argumen dikatakan tidak sah jika semua premis bernilai benar tetapi konklusinya bernilai salah. Jadi dalam penarikan kesimpulan, premis-premis dianggap atau diasumsikan benar dan argumennya harus sah atau valid. Sebelum kita mengkaji beberapa argumen, terlebih dahulu kita akan mempelajari konsep tautologi dan kontradiksi yang sangat penting dalam membuktikan validitas argumen. Berikut ini diberikan definisi dan contoh dari tautologi dan kontradiksi.

a.      Tautologi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. Contoh sederhana tautologi diberikan berikut ini.

b.      Kontradiksi

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponen pembentuknya. Berikut ini contoh kontradiksi.

Dari definisi dan contoh dari tautologi dan kontradiksi, jelas bahwa ingkaran darisuatu tautologi merupakan kontradiksi. Demikian juga sebaliknya, ingkaran dari kontradiksi merupakan tautologi. Suatu pernyataan yang bukan merupakan tautologi maupun kontradiksi disebut kontingensi. Dalam mempelajari penarikan kesimpulan konsep mengenai tautologi ini merupakan konsep terpenting karena digunakan untuk membuktikan apakah suatu penarikan kesimpulan sah atau tidak.

Latihan :         Buktikan bahwa pernyataan  merupakan Tautologi.

Jawaban     :

Pembuktian pernyataan  merupakan tautologi dengan tabel kebenaran berikut ini.

 

Dari tabel  di atas pernyataan              selalu bernilai benar bagaimanapun nilai kebenaran dari komponen pembentuknya. maka pernyataan tersebut merupakan tautologi.

Coba Anda amati kolom ketiga dan keempat. Kemudian bandingkan dengan kolom kelima. Disana dikatakan bahwa dua pernyataan disebut ekuivalen jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dengan melihat kolom ketiga dan keempat berarti pernyataan p ∧ q dan q ∧ p ekuivalen atau p ∧ q ≡ q ∧ p dimana ini merupakan aturan komutatif.

Modus Ponens, Modus Tolens, dan Silogisme

            Modus Ponens, modus tolens, dan silogisme merupakan metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian, dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan kesimpulan seperti ini sering disebut argumentasi. Prinsip-prinsip logika yang yang dipakai dalam proses penarikan kesimpulan adalah sebagai berikut:

1.      Argumentasi dikatakan berlaku atau sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi.

2.      Argumentasi dikatakan tidak berlaku atau tidak sah jika konjungsi dari premis-premisnya tidak berimplikasi konklusi.

a)   Modus Ponens

Misalkan diketahui premis-premis p  q dan p. dari premis-premis itu  dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan seperti itu disebut Modus Ponens. Modus Ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.

                   p  q .............  premis 1

                   p         ............. premis 2

                    q       ............  kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, modus ponens diatas dapat ditulis menjadi :

q

Yaitu konjungsi dari setiap premis-premisnya berimplikasi konklusi.

Modus ponens dikatakan sah apabila pernyataan implikasi q merupakan sebuah tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya sebuah modus ponens dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran seperti berikut ini.

P	q			q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

Berdasarkan tabel diatas tampak bahwa q adalah sebuah tautologi. Jadi, modus ponens adalah argumentasi yang sah.

Contoh soal:

Tentukan konklusi dari tiap-tiap premis berikut ini.

Jika Badu rajin belajar, maka ia akan naik kelas.                       ............. Premis 1

Badu rajin belajar                                                                 ............. Premis 2

Jawab :

Jika Badu rajin belajar, maka ia akan naik kelas.                       ............. Premis 1

                                    p                                      q

Badu rajin belajar                                                                 ............. Premis 2

                        P

 

        q                                                                                           ............. Konklusi

Jadi, konklusi / kesimpulannya adalah “Badu akan naik kelas”

b)   Modus Tollens

Misalkan diketahui premis-premis  dan q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi . Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut Modus Tollen. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut :

                         ............... premis 1

q       ............... premis 2

                           ............... Konklusi / kesimpulan

Dalam bentuk implikasi modus tollens dapat disajikan sebagai berikut.

                       

Yaitu konjungsi dari setiap premis-premisnya berimplikasi konklusi.

Sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan menggunakan tabel kebenaran untuk implikasi . Berikut ini adalah tabel kebenarannya.

p	q
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B S B B	S S S B	B B B B

Berdasarkan tabel diatas, tampak bahwa  adalah sebuah tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah.

Contoh soal :

Carilah kesimpulan dari premis-premis dibawah ini.

Jika saya giat belajar maka saya lulus ujian                 ............. premis 1

Ternyata saya tidak lulus ujian                                    ............. premis 2

Jawab :

Jika saya giat belajar maka saya lulus ujian                 ............. premis 1

                 p                                   q

Ternyata saya tidak lulus ujian                                    ............. premis 2

                                          

 

                                                                                      ............ Konklusi

Jadi, konklusi / kesimpulannya adalah “saya tidak giat belajar”

c)    Silogisme

Misalakan diketahui premis-premis   dan . Dari premis-premis itu dapat ditarik kesimpulan . Penarikan kesimpulan dengan cara itu disebut Silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut :

                                    ............. premis 1

                                     ............ premis 2

                                 ............ Kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme diatas dapat dituliskan menjadi :

                       

Sah atau tidaknya suatu silogisme dapat diuji dengan menggunakan tabel kebenaran untuk implikasi . Berikut adalah tabel kebenarannya.

p	q
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B S B B B S B B	B S B S B B B B	B S S S B S B B	B B B B B B B B

Dari tabel diatas, tampak bahwa  adalah sebuah tautulogi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

Contoh Soal :

Tentukan konklusi dari premis berikut ini :

Jika x bilangan real, maka x²  0                     .............. premis 1

Jika x²  0, maka (x² + 1)  0                         .............. premis 2

Jawab :

Jika x bilangan real, maka x²  0                     .............. premis 1

                            p                            q           

Jika x²  0, maka (x² + 1)  0                         .............. premis 2

            q                      r

 

                                                                     ............. Konklusi

Jadi, konklusinya adalah “Jika x bilangan real maka (x² + 1)  0 ”

                                                               p                               r

SOAL PEMECAHAN MASALAH

(PENARIKAN KESIMPULAN)

Periksalah sah atau tidaknya tiap argumen dibawah ini !

1.      p  q                2. p  q              3.    p q              4.    q p

p                                  q                         q  r                  q ∨  p

 q                          q                     p  r               q

5.    p ∨ r                      6.    p

       p                               q

 r                                p ∧  q

1.         Jika diketahui premis-premis sebagai berikut.

Premis 1 : Jika Andy tidak sakit maka ia masuk sekolah

Premis 2 : Jika Andy tidak lelah maka ia masuk sekolah

Premis 3 : Andy sakit dan tidak lelah

Kesimpulan : Andy masuk sekolah

Buktikan bahwa penarikan kesimpulan di atas sah.

B.     PENALARAN INDUKTIF DAN DEDUKTIF

Penalaran merupakan hal yang penting dalam kehidupan manusia. Kemampuan melakukan penalaran menyebabkan manusia mampu mengembangkan pengetahuan secara terus menerus. Hakikat penalaran adalah bahwa penalaran merupakan suatu proses berpikir dalam menarik kesimpulan yang berupa pengetahuan terkait dengan kegiatan berpikir. Sebagai kegiatan berpikir, penalaran mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri yang pertama adalah adanya suatu pola berpikir yang secara luas dapat disebut logika. Berpikir logis merupakan kegiatan berpikir menurut alur, pola atau kerangka tertentu. Ciri kedua adalah adanya proses analitik dari proses berpikirnya. Berpikir analitis merupakan konsekuensi dari adanya suatu pola berpikir analisis sintesis berdasarkan langkah-langkah tertentu.

Penalaran deduktif menurut Aristoteles, Plato, dan Socrates merupakan bekal dan proses yang dapat menemukan kebenaran. Namun demikian proses pencarian kebenaran dapat pula bersifat induktif dan verifikasi kebenaran harus berdasarkan fakta yang teramati dan atau terukur.

1.      Penalaran Induktif

Penalaran induktif adalah suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan atau membuat pernyataan baru yang bersifat umum berdasar pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui atau dianggap benar. Jadi dengan kata lain dalam penalaran induktif telah terjadi proses berpikir yang berusaha menghubungkan fakta-fakta khusus yang sudah diketahui menuju kepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Kesimpulan ditarik dengan jalan mensintesa kasus-kasus yang digunakan sebagai premis-premis. Kesimpulan tidak mungkin mengandung nilai kepastian mutlak dalam hal ini terdapat aspek probabilitas. Penalaran induktif bersifat a posteriori yaitu kasus-kasus yang dijadikan premis merupakan hasil pengamatan inderawi.

Jadi kelebihan penalaran induktif terletak pada proses mendapatkan pernyataan baru namun pada sisi lain hasil yang didapat tersebut masih berpeluang untuk menjadi salah.

Contoh Soal Pemecahan Masalah:

1.    Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran induktif.

2.    Buktikan dalil Pythagoras dengan menggunakan penalaran induktif.

Jawaban :

1.    Akan dibuktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran induktif sebagai berikut. Kita ambil sebarang dua bilangan ganjil berikut ini.

1 + 3 = 4

1 + 5 = 6

3 + 5 = 8

Demikian seterusnya. Jika kita ambil sebarang dua bilangan ganjil, kemudian

kita jumlahkan diperoleh bilangan genap. Dari sini disimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

(Pada kegiatan ini terjadi proses berpikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta khusus yang sudah diketahui menuju kepada suatu kesimpulan yang bersifat umum. Jadi penalaran induktif adalah suatu kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum berdasarkan pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar.)

2.    Akan dibuktikan dalil Pythagoras dengan menggunakan penalaran induktif. Untuk membuktikan dalil Pythagoras, dibuat sebarang segitiga siku-siku, misalnya seperti gambar di bawah ini dengan ukuran 3-4-5.

 

Untuk menunjukkan kebenaran dalil Pythagoras digunakan alat peraga seperti di atas. Secara umum persegi 1 dan 2 dipindahkan ke persegi 3 sehingga persegi 3 tertutup semua oleh persegi 1 dan 2. Cara pemindahan bisa dengan memotong persegi 1 dan 2 menjadi persegi satuan sehingga dengan mudah dapat dipindahkan ke persegi 3 sehingga daerah persegi 3 tertutup semua. Hal ini menyatakan bahwa luas daerah 3 sama dengan jumlah luas daerah 1 dan 2. Dengan kata lain jika luas daerah persegi 3 adalag c² , luas daerah persegi 2 adalah a² , dan luas persegi 1 adalah b² maka diperoleh c² = a² + b² . Jadi terbukti kebenaran dalil Pythagoras yang menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi yang

lainnya.

2.      Penalaran Induktif

Penalaran deduktif adalah suatu cara penarikan kesimpulan dari pernyataan atau fakta yang dianggap benar dengan menggunakan logika. Penalaran deduktif merupakan cara penarikan kesimpulan yang bersifat khusus dari hal-hal atau kasus-kasus yang bersifat umum. Penalaran deduktif bersifat silogisme yaitu berdasarkan argumen yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan dimana hubungan antara premis-premis dengan kesimpulan merupakan hubungan yang tidak terpisahkan satu sama lain. Selain itu penalaran deduktif bersifat a priori yaitu premis-premis tidak memerlukan pengamatan inderawi atau empiris. Inti penalaran deduktif adalah pada tepat atau tidaknya hubungan antara premis premis dan kesimpulan. Kesimpulan ditarik dengan menganalisa premis-premis yang sudah ada. Kesimpulan sesungguhnya telah tersirat dalam premis-premisnya. Oleh karena itu penalaran deduktif bersifat tautologis.

kelebihan penalaran deduktif yang valid atau sah adalah bahwa kesimpulan yang diperoleh tidak akan pernah salah jika premis-premisnya bernilai benar.

Contoh Soal Pemecahan Masalah:

1.      Buktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran deduktif.

2.      Buktikan bahwa jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dimana a < b , berlaku a + c < b + c dengan menggunakan penalaran deduktif.

Jawaban :

1.      Akan dibuktikan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap dengan menggunakan penalaran deduktif sebagai berikut. Misalkan dipunyai dua bilangan ganjil yaitu 2n +1 dan 2k +1 dengan n dan k bilangan asli.

Dua bilangan ganjil tersebut kita jumlahkan sehingga diperoleh

            (2n + 1) + (2k + 1) = 2n + 2k + 2

                                           = 2 (n + k) + 2

n dan k bilangan asli maka n + k = m juga merupakan bilangan asli.

Selanjutnya diperoleh (2n + 1) + (2k + 1) = 2m + 2 = 2(m +1) .

Bilangan m merupakan bilangan asli maka m + 1 juga merupakan bilangan asli. Setiap bilangan asli jika dikalikan dengan 2 maka hasil kalinya adalah bilangan genap. Jadi terbukti bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

2.      Akan dibuktikan bahwa jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dimana a < b , berlaku a + c < b + c dengan menggunakan penalaran deduktif. Diketahui a < b , menurut definisi “lebih kecil dari” berarti ada bilangan asli k sehingga a + k = b . Selanjutnya diperoleh                                                        Alasan

(a + k) + c = b + c                                           Sifat penjumlahan pada kesamaan

a + (k + c) = b + c                                           Sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k) = b + c                                           Sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c                                           Sifat asosiatif penjumlahan

a + c < b + c                                                    Definisi “lebih kecil dari”

Jadi terbukti bahwa jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dimana a < b , berlaku a + c < b + c .

DAFTAR PUSTAKA

Budhayanti, Clara Ika Sari, dkk.2008.”Bahan Ajar Cetak Pemecahan Masalah Matematika 3 SKS“.Jakarta: Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono.2007.”Matematika SMA untuk Kelas X” . Jakarta: Erlangga.