Uraian Materi
(Persamaan dan
Pertidaksamaan)
v
Persamaan
Linear
Persamaan adalah suatu
kalimat matematika yang memuat satu atau lebih variabel (peubah) dan
dihubungkan dengan relasi "=". Bila semua variabelnya berpangkat satu
maka persamaan tersebut disebut persamaan linear. Bila persamaan linear
tersebut hanya memuat satu variabel saja, maka disebut persamaan linear satu
variabel atau persamaan linear satu peubah. Apabila persamaan linear tersebut
memuat dua variabel maka disebut dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
(SPLDV).
Sebuah persamaan linear
merupakan suatu kalimat matematika yang belum diketahui nilai kebenarannya
(benar atau salah). Oleh karena itu, menyelesaikan suatu persamaan linear merupakan
sebuah proses mencari suatu bilangan pengganti variabel yang membuat persamaan
linear tersebut menjadi sebuah proposisi benar. Bilangan yang membuat suatu
persamaan linear menjadi proposisi benar disebut penyelesaian (jawab).
Himpunan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian.
a.
Persamaan
Linier Satu Variabel
Bentuk
umum dari persamaan linear satu variabel adalah :
ax + b = 0
dengan a dan
b bilangan riil dan a ≠ 0.
Penyelesaian
dari persamaan linear; ax + b= 0, menggunakan prinsip prinsip yang
ada dalam kesamaan bilangan riil, yakni :
“sebuah
kesamaan p = q tidak akan berubah apabila pada
kedua ruas ditambah, dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan yang
sama;”
sehingga
penyelesaian tersebut dapat ditentukan melalui proses berikut:
ax
+
b = 0
Û ax +
b
b = 0
b
(sebuah
persamaan tidak berubah bilakedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama;
dalam kasus ini bilangan yang ditambahkan adalah
b )
Û ax =
b
(b
b = 0)
Û
=
(sebuah
persamaan tidak berubah bila kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama;
dalam kasus ini bilangan pengalinya adalah
)
Û
=
(
=
1)
Sehingga himpunan
penyelesaian (HP) untuk ax + b = 0 adalah
Contoh Soal:
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari x
+ 3 = 8
Jawab:
x + 3 = 8
Û x
= 8
3
Û x = 5. Jadi HP = {5}
2. Jika
suatu bilangan ditambah tiga kali bilangan itu, kemudian hasilnya dikalikan
dengan lima menghasilkan 50 dikurangi lima kali bilangan itu, maka tentukan
bilangan tersebut.
Jawab:
Misalkan bilangan yang dimaksud adalah x
, maka kalimat matematika untuk persoalan tersebut adalah
5(x + 3x) = 50
-5x
Û5x +15x = 50
-5x
Û25x = 50
Û x = 2 . Jadi bilangan yang dimaksud adalah 2.
b.
Sistem Persamaan Linear dengan Dua
Variabel
Bentuk umum persamaan linear ax
+ by = c dengan a, b dan c anggota bilangan real dan a, b ≠
0. Pasangan (x1, y1) yang memenuhi persamaan linear di
atas, sehingga ax1 + by1 = c , disebut penyelesaian dari persamaan libear
tersebut. Penyelesaian persamaan ax + by = c dapat di peroleh dengan memasukan
nilai sembarang terhadap salah satu variabelnya kemudian menentukan nilai
variabel yang lainnya. Himpunan semua bilangan (x1, y1)
yang memenuhi persamaan ax + by = c, disebut himpunan penyalesaian dari
persamaan ax + by = c, dan selanjutnya ditulis
HP.
Cara penyelesaian SPLDV ada 4 yaitu :
• Dengan
metode Substitusi
• Dengan
metode Eliminasi
• Dengan
metode substitusi dan eliminasi
• Metode
Determinan
Metode
Eliminasi
Metode Substitusi
Eliminasi
Metode
Determinan (Aturan Cramer)
a1b2 – a2b1
Contoh soal :
Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan sistem
persamaan linear berikut ini:
v
Pertidaksamaan
Linier
Pertidaksaman linear
adalah suatu kalimat matematika yang memuat satu atau lebih variabel
yang kesemuanya berpangkat satu dan dihubungkan dengan relasi
,
< ,
,
atau >. Untuk selanjutnya pertidaksamaan linear yang dimaksud
dalam bab ini adalah pertidaksamaan linear dengan satu peubah. Bentuk
umum dari pertidaksamaan linear satu peubah adalah
ax + b (
,
,
) 0
dengan a, b, c bilangan
real dan a
0. Oleh karena itu, teknik penyelesaian untuk pertidaksamaan
linear satu peubah ini analog dengan teknik penyelesaian untuk persamaan linear
satu peubah, dengan memperhatikan sifat-sifat berikut. Jika a, b,
c bilangan real;
·
untuk c > 0, jika a > b maka ac
> bc;
·
untuk c < 0, jika a > b maka ac
< bc.
Contoh:
1. Tentukan
himpunan penyelesaian dari x + 3
8
Jawab:
x + 3
8
Û x
+
3
3
8
3
Û x
5. Jadi HP = {x
R | x
5} atau bisa dinyatakan dalam diagram garis
berikut:
2. Tentukan
himpunan penyelesaian dari 5x -9
< 21 dan - 4x + 5
£17
Jawab:
5x -9
< 21 dan - 4x + 5
£17
Û5x < 30 Ù - 4x
£12
Ûx
< 6 Ù x ³ -3
v
Persamaan
Kuadrat
Persamaan kuadrat
adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel (peubah) dan berpangkat dua.
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
ax2
+ bx + c = 0
dengan a ¹ 0.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat terdapat tiga cara yaitu faktorisasi,
melengkapkan kuadrat sempurna dan rumus.
a.
Menyelesaikan PK dengan
Faktorisasi
Dasar sifat
aljabar yang dipergunakan untuk faktorisasi ini adalah: untuk m dan n bilangan riil, mn = 0 jika
hanya jika m = 0 atau n = 0. Menggunakan dasar ini, dalam proses
penyelesaiannya sebuah persamaan kuadrat
ax2
+ bx + c = 0
mula-mula diubah ke dalam bentuk :
(
px + q)(rx + s) = 0
dimana p, q, r, s adalah
bilangan-bilangan riil yang memenuhi :
- p´r = a
- q´ s = c
- (
p´ s) + (q´r) = b
Dengan demikian, untuk persamaan kuadrat
ax2
+ bx
+ c
= 0
dengan a =1, bentuk pemfaktorannya menjadi (x + q)(x + s) = 0 dimana q, s adalah bilangan bilangan riil
yang memenuhi q + s
= b dan
q´ s = c . Setelah didapat
bentuk
( px + q)(rx + s) = 0
maka dengan menggunakan dasar sifat
aljabar pada sistem bilangan riil di atas kita akan mendapatkan
(
px + q)
= 0 Ú (rx
+ s)
= 0
Û px = -q Ú rx = -s
Û x = -
Ú
=
yang
merupakan penyelesaian untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c
= 0
Contoh:
Carilah himpinan penyelesaian dari :
1) x2
8x + 12 = 0
jawab
:
Û(x - 2)(x
- 6) = 0
Û(x - 2)
= 0Ú (x
- 6) = 0
Ûx = 2Ú x = 6
Jadi
HP = {2,6}
2) 2x2
6x + 4 = 0
Jawab :
Û(2x - 2)(x - 2)
= 0
Û(2x - 2) = 0
Ú (x - 2) = 0
Ûx =1Ú x
= 2
Jadi HP = {1,2}
Dalam menyelesaikan
persamaan kuadrat ax2 + bx
+ c
= 0 ini, kita dituntut
untuk mendapatkan bilangan-bilangan riil p, q, r, s yang memenuhi p´r = a
,
q´ s = c , dan ( p´ s) + (q´r)
= b.
Hal ini merupakan pekerjaan yang tidak mudah manakala koefisien dalam persamaan
kuadrat melibatkan bilangan-bilangan yang besar. Andaikan koefisien tersebut
merupakan bilangan-bilangan yang kecil, tetapi p, q, r, s yang
bersesuaian tidak selalu merupakan bilangan bulat. Sehingga pekerjaan
mendapatkan kombinasi p, q, r, s yang sesuai memang bukan hal yang
mudah. Pekerjaan baru mudah setelah kita mendapatkan pemfaktorannya.
b.
Menyelesaikan PK dengan
Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Selanjutnya, kita akan menggunakan proses
melengkapkan bentuk kuadrat untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan, maka dengan mudah kita dapat
menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran. Tetapi apabila suatu persamaan
kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka salah satu cara untuk menentukan
akar-akarnya adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna.
Manipulasi aljabar dalam proses melengkapkan kuadrat
sempurna untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c
= 0 dapat ditunjukkan
sebagai berikut :
ax2
+ bx + c = 0
a
+
c =
0
a
+
+
c = 0
a
+ c
= 0
a
=
a
=
x =
x =
Contoh
Soal:
(x
+ 2) =
⇔ x + 2 =
⇔
x
= -2
Ini berarti: x = -2
atau x =
-2
.
Jadi akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x - 1 = 0 adalah
x
= -2
atau x =
-2
.
Jadi Hp = {x= -2
, -2
.}
c. Menyelesaikan
PK dengan Rumus
Cara ini merupakan cara
yang lebih cepat dan praktis dalam menyelesaikan persamaan kuadrat. penyelesaian
untuk persamaan kuadrat ax2
+
bx + c = 0 adalah :
x
b2
- 4ac disebut diskriminan dan
dinotasikan dengan D. Dari rumus penyelesaian persamaan kuadrat, dapat
dilihat bahwa diskriminan (D),
dapat menentukan banyaknya penyelesaian (akar) persamaan kuadrat dalam semesta
himpunan bilangan riil, yakni
1. jika D > 0 maka terdapat
dua penyelesaian riil berbeda;
2. jika D = 0 maka terdapat satu
penyelesaian riil;
3. jika D < 0 maka tidak
terdapat penyelesaian riil.
Contoh:
1.
Tentukan banyaknya akar dan himpunan
penyelesaian dari persamaan kuadrat
x2 + 9 = 6x !
jawab :
x2 + 9 = 6x
Û
x2 + 6x + 9 = 0
D = b2 - 4ac = (6)2
4(1 x 6)
= 36 – 36
=
0
Karena
D = 0 , maka persamaan
tersebut mempunyai satu akar riil yakni :
x =
=
= 3
Jadi HP = {3}.
v Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk
umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah :
ax2+ bx + c (
) 0
dengan
a ¹ 0.
Dengan memanfaatkan
penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat, maka langkahlangkah penyelesaian
suatu pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
1. mencari
penyelesaian dari ax2 + bx + c
= 0
2. penyelesaian
(akar) tersebut kemudian digunakan sebagai batas-batas interval dalam garis
bilangan
3. dengan
menguji nilai fungsi dari tiap interval, dapat diketahui penyelesaian
pertidaksamaan kuadrat tersebut yang disesuaikan dengan bentuk pertidaksamaan
yang ditetapkan.
Bila ax2
+ bx + c = 0 tidak memiliki penyelesaian, maka tidak terdapat batasbatas interval
dalam garis bilangan, sehingga semua titik dalam garis bilangan dapat digunakan
untuk menguji apakah semua bilangan real memenuhi pertidaksamaan atau tidak ada
bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan.
Pengujian nilai fungsi
ini didasarkan pada fakta dari grafik suatu fungsi
kuadrat. Grafik dari fungsi kuadrat f
(x) = ax2 + bx + c
selalu berbentuk parabola. Arah hadap
parabola ini tergantung dari koefisien a,
· jika
a > 0 maka parabola
menghadap ke atas
· jika
a < 0 maka parabola menghadap
ke bawah.
Selanjutnya ada
tidaknya perpotongan grafik dengan sumbu X, tergantung dari harga
diskriminannya, D = b2
4ac.
· Jika
D > 0 maka grafik memotong
sumbu X di dua titik yang berbeda
· jika
D = 0 maka grafik memotong
sumbu X di satu titik,
· jika
D < 0 maka grafik tidak
memotong sumbu X.
Contoh
Soal :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan kuadrat berikut:
1.
x2 -
8x + 12 > 0
2.
x2-
8x + 12 < 0
3.
x2- 8x + 12 £ 0
4.
x2
- 8x + 12 ³ 0
Jawab:
Keempat pertidaksamaan kuadrat tersebut
memiliki bentuk persamaan kuadrat yang sama yakni x2
- 8x + 12 = 0 . Harga diskriminannya adalah positif sehingga
memiliki 2 penyelesaian riil, yakni x = 2
atau x = 6. Akar-akar tersebut
kemudian dipergunakan sebagai batas-batas interval. Karena koefisien a positif,
maka uji interval menghasilkan :
Dengan
adanya hasil uji interval di atas, maka untuk menentukan himpunan
penyelesaian
dari keempat soal di atas, tinggal melihat ilustrasi tersebut.
1.
HP untuk x2
-
8x + 12 > 0 adalah {xÎÂ| x < 2 atau x
> 6}
2.
HP untuk x2
-
8x + 12 < 0 adalah {xÎÂ| 2 < x
< 6}
3.
HP untuk x2
-
8x + 12 £ 0 adalah {xÎÂ|
2 £ x £ 6}
4. HP untuk x2
-
8x + 12 ³ 0
adalah {xÎÂ|
x £ 2 atau x
³ 6}
Rangkuman
· Persamaan
linier terdiri dari persamaan linier satu variabel dan persamaan linier dua
variabel
· Penyelesaian
SPLDV terdapat 4 cara yaitu :
1. Metode
substitusi
2. Metode
Eliminasi
3. Metode
substitusi dan Eliminasi
4. Metode
Determinan
· Pertidaksaman
linear adalah suatu kalimat matematika yang memuat satu atau
lebih variabel yang kesemuanya berpangkat satu dan dihubungkan dengan relasi
· Persamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang memuat satu variabel (peubah) dan
berpangkat dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah sebagai berikut.
ax2
+ bx + c = 0
dengan a ¹ 0. Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat terdapat
tiga cara yaitu:
a) faktorisasi,
b) melengkapkan
kuadrat dan
c) rumus yaitu
·
Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat
adalah :
ax2+ bx + c (
) 0,
dengan
a ¹ 0.
Latihan Soal... !!!
1.
Diketahui
(a, b) adalah penyelesaian system persamaan
A.
–4
B.
–2
C.
1
D.
2
E.
4
2.
Harga
3 buah buku dan 2 penggaris Rp9.000,00. Jika harga sebuah buku Rp500,00 lebih
mahal dari harga sebuah penggaris, harga sebuah buku dan 3 buah penggaris
adalah ....
A.
Rp6.500,00
B.
Rp7.000,00
C.
Rp8.000,00
D.
Rp8.500,00
E.
Rp9.000,00
3.
Himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linier :
A. (6, −1)
B.
(2,
−21)
C.
(3,
−2)
D. (−1,6)
E.
(−2,3)
4. Harga
8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp14.400,00. Harga 6 buah buku tulis dan 5
buah pensil Rp11.200,00. Berapakah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil?
A. Rp13.600,00.
B. Rp12.800,00.
C. Rp12.400,00.
D. Rp11.800,00.
E. Rp11.500,00.
5. Diketahui x1 dan
y1 memenuhi persamaan 2x – 3y = 7 dan 3x – 4y = 9,
Nilai x1 +
y1 = ….
A.
– 4
B.
– 2
C.
– 1
D.
3
E.
4
6. Nilai
X yang memenuhi
pertidaksamaan 3x + 3 ≥ 18
adalah.....
A.
X
B.
X
C.
X
5
D.
X
E.
X
7. Nilai X dari pertidaksamaan x
adalah..........
A.
X
B.
X
C.
X
D.
X
E.
X
8. Penyelesaian dari pertidaksamaan 3
– 5
adalah......
A. X
B. X
4
C. X
D. X
E.
X
9. Persamaan
kuadrat : x2 – 6x + 5 = 0 akar-akarnya adalah a dan b.
Nilai (a-b)2= …
A. 9
B. 16
C. 21
D. 25
E.
31
DAFTAR
PUSTAKA
Wirodikromo,Sartono. Matematika untuk SMA Kelas X. Erlangga.
Jakarta. 2007
http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Persamaan_dan_Pertidaksamaan_Linear_1_Variabel
0 komentar:
Posting Komentar